【摘要】 目的 研究隐裂下颌第一磨牙受力后裂纹的变化情况，以及裂纹存在对牙齿受力后整体位移的影响。方法 建立包含不同深度和长度裂纹的隐裂下颌第一磨牙的三维有限元模型以及无裂纹对照模型，模拟咬合过程，确定6种加载方式，通过有限元计算，求得不同裂纹的变化情况以及裂纹存在对牙齿整体位移的影响。结果 随着裂纹深度和长度的增加，面裂纹的宽度亦变大，载荷4的影响最大。开裂时裂纹边缘不齐，相邻节点不在同一平面上。邻面裂纹在载荷6工况下开裂最大。裂纹存在时牙齿整体位移增加，但对牙齿整体位移的影响是有限的。结论 裂纹的变化与初始裂纹形式和载荷工况密切相关。
【关键词】 隐裂牙 载荷 裂纹 有限元法
Three-dimensional finite element analysis of the change of cracks in the cracked first mandibular molar under different loading conditions HOU Tie-zhou1, ZHU Feng-yan1, TAO Hong2, WANG Shuai-shuai1. （1. Dept.of Oral Medicine, Stomatological Hospital of Xi′an Jiaotong University, Xi′an 710004, China; 2. Dept. of Stomatology, The First Hospital of Xi′an Jiaotong University, Xi′an 710061, China）
[Abstract] Objective To study the change of the cracks and the influence on overall displacement of the cracked first mandibular molar under different loadings. Methods Three-dimensional finite element models of first mandibular molar with cracks of different depth and length and a control model with no crack were created firstly. Then six loading conditions were applied to the models simulating the real mastication. The changes of the cracks and displacement of the teeth under the six loadings conditions were obtained by finite element method. Results The length and depth of the cracks increased, the cracks of the occlusal surface become wider, and the crack was the widest under the fourth loading condition. Moreover, the edge of the cracks was irregular. The adjacent nodes were not in the same plane. The crack of the distal surface was the widest under the sixth loading condition. Com-pared to the teeth without cracks, the overall displacement of the teeth with cracks increased, but the increment was limited. Conclusion The change of the cracks is closely related to the initial crack forms and loading conditions.
[Key words] cracked tooth； loading； crack； finite element method
隐裂牙综合征[1]是一种常见的严重牙体组织疾患，由于隐裂早期患者无明显症状，牙冠表面的细小裂纹不易被发现，常不能得到及时治疗，导致成年人特别是中老年人的牙齿劈裂。在一些工业化国家，已成为继龋病和牙周病之后导致牙齿缺失的第三位因素[2]。临床观察发现，隐裂牙受力后裂纹逐步扩展，患者出现不同程度的牙髓刺激症状，就诊时牙冠表面常可见明显裂纹。本研究通过计算机建立隐裂下颌第一磨牙的三维有限元模型，通过在裂纹两侧牙尖斜面上施加不同形式的载荷，观察裂纹的发展变化情况以及对隐裂牙整体位移的影响，探讨隐裂牙受力后裂纹的变化规律，为控制和预防裂纹的扩展积累研究资料。
1 材料和方法
1.1 模型的建立
1.1.1 真实模型 根据中国人下颌恒磨牙的正常值标准[3]，参照钱蕴珠等[4]对隐裂牙的研究结果，选择一个外形典型的离体隐裂右下颌第一磨牙。牙长20.58 mm，近远中径11.60 mm，颊舌径10.20 mm，冠高7.60 mm；面有5个牙尖，5条发育沟，最大高度差1.5 mm，牙尖斜度38.29°。
1.1.2 三维有限元模型 主要采用八节点六面体单元，沿牙长轴方向取13个剖面，沿近远中方向取11个剖面，形成三维有限元模型。全模型共有1 927个节点，1 030个体单元（其中釉质224个，牙本质510个，牙骨质296个）。牙周膜采用四节点平面应力膜单元，共计392个。由于牙髓腔不受力，未设单元。
1.1.3 初始裂纹 裂纹自下颌第一磨牙面远中一侧开始，沿牙长轴方向向下取3种不同深度，分别为4.7（A）、6.1（B）、7.1 mm（C），以模拟龈向开裂2/3、3/4、9/10的状况；沿近远中方向取4种不同开裂长度，分别为2.3（1）、4.8（2）、7.1（3）、9.5 mm（4），以模拟面开裂1/5、2/5、3/5、4/5的状况，共有A1～A4、B1～B4、C1～C4总计12种初始裂纹情况，其中C4为最大隐裂模型。另外设无裂纹模型作为对照。
在计算模型中采用接触元来描述裂纹。在模型裂纹断面处设置双节点（即具有相同坐标的2个节点），将这2个节点设置为一对接触元。接触元的刚度按其接触状态进行设置，当该处为断裂时，设置其刚度为零；当该处为不断裂时，则取值为材料刚度。为充分表现不同裂纹的状态，模型裂纹断面共设置165对接触元。
1.1.4 载荷工况 取下颌第一磨牙最大正常力727 N[5]，按咬合状态，参照吕纯洁等[6]加载的10种载荷方向，设计3种加载方向共6种加载工况。1）载荷工况1：咬合力平均分配在下颌第一磨牙颊尖的舌斜面上，垂直于颊尖舌斜面；2）载荷工况2：咬合力平均分配在颊尖舌斜面和舌尖颊斜面上，垂直向下；3）载荷工况3：咬合力平均分配在第一磨牙舌尖的颊斜面上，垂直于舌尖颊斜面；4）载荷工况4：咬合力作用于下颌第一磨牙远中颊尖的舌斜面，垂直于颊尖舌斜面；5）载荷工况5：咬合力作用于远中颊尖舌斜面和远中舌尖颊斜面，垂直向下；6）载荷工况6：咬合力作用于下颌第一磨牙远中舌尖的颊斜面，垂直于舌尖颊斜面。
1.1.5 材料参数 隐裂牙有限元模型中的各种材料均视为各向同性的均质线弹性材料，釉质、牙本质、牙骨质、牙周膜的弹性模量分别为46 980.00、11 720.00、2 398.00、9.80 MPa，泊松比分别为0.30、0.30、0.30、0.45[7-8]。
1.1.6 边界条件 整个牙体通过牙周膜的平面应力膜元支持于牙槽骨上。牙槽骨则单独设立节点（共计392个），所有节点固支。
1.2 方法
采用西北工业大学航天学院自行研制的航空航天结构弹性接触分析程序系统（AASA），计算12种初始裂纹模型在6种载荷工况下近远中、颊侧向、舌侧向和龈向的牙齿最大位移以及面裂纹始端位移，与这6种载荷工况下无裂纹模型相应计算结果进行对比，分析裂纹的存在对牙齿受力后整体位移的影响。计算12种初始裂纹模型在6种载荷工况下的面裂纹宽度，分析不同长度和深度的初始裂纹模型受力后面裂纹宽度的变化情况。
2 结果
2.1 裂纹的存在对牙齿受力后位移的影响
与对照模型相比，6种载荷工况下牙齿12种初始裂纹模型面节点沿近远中、颊侧向、舌侧向和龈向的最大位移均有不同程度的改变，以最大隐裂模型C4最为典型。模型C4与对照模型在6种载荷工况下面节点沿近远中、颊侧向、舌侧向和龈向最大位移的测量结果见表1。由表1可见，载荷4～6造成的位移大于载荷1～3。模型C4与对照模型在6种载荷工况下面裂纹始端节点位移的测量结果见表2。由表2可见，载荷4～6造成的裂纹始端位移大于载荷1～3。表1、2中向近中、颊侧及面方向的位移为正值，反之为负值。
2.2 初始裂纹对受力后裂纹宽度的影响
12种初始裂纹形式下牙齿受力后面裂纹宽度的变化情况见图1。
载荷1～6工况下面裂纹最大宽度分别为0.084 5、0.099 5、0.072 2、0.154 0、0.145 7、0.139 3 mm。裂纹长度一定时，面各裂纹宽度随着裂纹深度的加深而变宽。6种载荷工况下最大裂纹宽度位于面远中裂纹起始点，向裂纹止点方向呈不均匀缩窄，尖端缩窄最为显著。各种裂纹在不同载荷工况下面最宽处的变化见图2，为了更好地看清变化趋势，将各个离散点连接起来，在载荷1～3状态下，载荷2导致最大开裂；在载荷4～6状态下，载荷4导致最大开裂；载荷4～6所致开裂大于载荷1～3。
2.3 12种初始裂纹形式下牙齿受力后邻面裂纹宽度的变化情况
与对照模型相比，在6种载荷工况下，12种初始裂纹模型邻面裂纹的开裂均增加，以模型C4最为典型。对模型C4邻面裂纹进行观察发现，载荷4～6（集中加载）导致的邻面开裂明显大于载荷1～3（均匀加载）。在均匀加载时，以载荷2产生的邻面开裂最大，而在集中加载时，以载荷6导致的邻面开裂最大。
3 讨论
3.1 关于研究方法
可用于牙齿裂纹研究的方法有实测法和数值模拟法。参照钱蕴珠等[4]的研究选择离体牙，建立三维有限元模型，采用AASA系统对其进行受力分析，以计算结果分析描述设定条件下裂纹的变化，结果可信。
3.2 载荷工况
由于隐裂牙裂纹多见于面窝沟，故选取对开裂影响最大的3种加载方向，其他加载方向未作计算。本研究中的6种载荷包括作用在牙齿生理中心的力和侧向力。载荷1～3与载荷4～6分别模拟正常咬合与咬到硬物时的局部异常力等多种典型情况。结果表明：所有的裂纹在不同的载荷下有相同的变化趋势，在正常咬合情况下，载荷2产生的面开裂最大。以此推论，在咬硬物时，载荷5理应产生最大面开裂，但结果是载荷4产生的面开裂最大。结果表明：裂纹开裂的大小除与力的方向有关外，还与受力位点有关。这对裂纹的临床诊断、治疗与修复均有重要的参考价值。
3.3 裂纹边缘的变化及意义
临床观察[9-10]发现隐裂位置与面某些窝沟的位置重叠并向一侧或两侧边缘嵴延伸，近远中向裂发生率最高。本研究假设裂纹从面远中向近中开裂，设置了4种不同长度，3种不同深度共计12种初始裂纹形式，来模拟裂纹扩展的不同阶段。裂纹设置为一直线，加载后通过计算发现，裂纹断面处所设置的双节点间的距离成非线性变化，裂纹尖端呈显著缩窄，裂纹两边由设定的直线变为折线，这可能是由于不同节点处的应力变化不同造成的，而较高的应力点可以使裂纹在扩展过程中方向发生改变，形成临床所见的不规则形态与分型[11]。在咀嚼运动过程中，牙齿受力位点及大小不断发生改变，导致裂纹的尺寸不断发生变化，使裂纹边缘及尖端应力反复变化，产生牙体组织疲劳损伤的积累，最终裂纹进一步扩展导致牙折的发生。故简单的咬合调整不能终止裂纹的扩展，探讨终止裂纹的微创方法将有重要的意义。
3.4 裂纹始端位移变化的意义
本研究结果表明，面裂纹始端对应节点沿面移动的同时，伴随有龈向的位移，导致裂纹两侧对应节点不在同一平面上，这将改变原有受力方向，使裂纹尖端的受力变得更为复杂，可能导致裂纹在扩展过程中方向发生改变。提示在临床上对裂纹进行修复时，必须对裂纹始端进行充分的粘接与固定。
3.5 裂纹宽度的影响因素
本研究结果表明面裂纹宽度的变化与裂纹的长度与深度有密切关系。裂纹较短时，裂纹深度对面裂纹的变化影响不大；当裂纹超过面1/2时，裂纹越深，面裂纹宽度变化越大，且呈非线性关系。提示当临床检查发现面裂纹尖端接近面中央时，必须进行治疗。载荷对面裂纹宽度变化有较大的影响，所有的初始裂纹模型在6种载荷下面裂纹宽度有共同的变化趋势，以载荷4最大。载荷4～6的影响远大于载荷1～3，表明应力集中可能是裂纹进一步增宽的高危因素。
3.6 裂纹宽度的临床意义
本研究结果表明，12种裂纹在6种载荷工况下分别形成的最大裂纹宽度为0.01～0.15 mm。Caufield[12]提出小于0.02 μm的裂纹在活体牙上肉眼难检查出来。但口腔内的各种微生物及毒素仍然可以顺利通过。本研究所设裂纹加载后最大开裂多大于20 μm，部分大于0.1 mm。后者食物残渣可以进入，如不能清除，当载荷撤消后，裂纹不能闭合，使裂纹尖端应力持续维持在较高水平，在咬合力的作用下，裂纹可逐步扩展，当发展到一定程度时隐裂牙折裂。所以对裂纹的早期修复非常重要。
3.7 裂纹对牙齿整体位移的影响
牙齿整体位移与牙周膜弹性模量和牙体组织的形变有关。隐裂后牙体刚度下降，导致牙体位移增加，但裂纹的存在对牙齿整体位移的影响有限。
【参考文献】
[1] Lynch CD, McConnell RJ. The cracked tooth syndrome[J]. J CanDent Assoc, 2002, 68（8）：470-475.
